如圖，拋物線y=x2+bx+c經過點A（﹣1，0），B（0，﹣2），並與x軸交於點C，點M是拋物線對稱軸l上任...

問題詳情：

如圖，拋物線y=x2+bx+c經過點A（﹣1，0），B（0，﹣2），並與x軸交於點C，點M是拋物線對稱軸l上任意一點（點M，B，C三點不在同一直線上）．

（1）求該拋物線所表示的二次函數的表達式；

（2）在拋物線上找出兩點P1，P2，使得△MP1P2與△MCB全等，並求出點P1，P2的座標；

（3）在對稱軸上是否存在點Q，使得∠BQC為直角，若存在，作出點Q（用尺規作圖，保留作圖痕跡），並求出點Q的座標．

【回答】

解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入拋物線y=x2+bx+c中得：

，

解得：，

∴拋物線所表示的二次函數的表達式為：y=x2﹣x﹣2；

（2）如圖1，P1與A重合，P2與B關於l對稱，

∴MB=P2M，P1M=CM，P1P2=BC，

∴△P1MP2≌△CMB，

∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，

此時P1（﹣1，0），

∵B（0，﹣2），對稱軸：直線x=，

∴P2（1，﹣2）；

如圖2，MP2∥BC，且MP2=BC，

此時，P1與C重合，

∵MP2=BC，MC=MC，∠P2MC=∠BP1M，

∴△BMC≌△P2P1M，

∴P1（2，0），

由點B向右平移個單位到M，可知：點C向右平移個單位到P2，

當x=時，y=（﹣）2﹣=，

∴P2（，）；

如圖3，構建▱MP1P2C，可得△P1MP2≌△CBM，此時P2與B重合，

由點C向左平移2個單位到B，可知：點M向左平移2個單位到P1，

∴點P1的橫座標為﹣，

當x=﹣時，y=（﹣﹣）2﹣=4﹣=，

∴P1（﹣，），P2（0，﹣2）；

（3）如圖3，存在，

作法：以BC為直徑作圓交對稱軸l於兩點Q1、Q2，

則∠BQ1C=∠BQ2C=90°；

過Q1作DE⊥y軸於D，過C作CE⊥DE於E，

設Q1（，y）（y＞0），

易得△BDQ1∽△Q1EC，

∴，

∴=，

y2+2y﹣=0，

解得：y1=（舍），y2=，

∴Q1（，），

同理可得：Q2（，）；

綜上所述，點Q的座標是：（，）或（，）．

【點評】本題考查了待定係數法求函數解析式、二次函數圖象上點的座標特徵、二次函數的*質、圓周角定理以及三角形全等的*質和判定，解題的關鍵是：（1）利用待定係數法求出函數解析式；（2）利用二次函數的對稱*解決三角形全等問題；（3）分類討論．本題屬於中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用二次函數的對稱*，再結合相似三角形、方程解決問題是關鍵．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題