如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點．（1）求該拋物線的解析式；（2）設（...

問題詳情：

如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設（1）題中的拋物線上有一個動點P，當點P在拋物線上滑動到什麼位置時，滿足S△PAB=8，並求出此時P點的座標；

（3）設（1）題中的拋物線交y軸於C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（﹣1，0），B（3，0），

∴

解得．

∴所求解析式為y=x2﹣2x﹣3．

（2）設點P的座標為（x，y），

由題意：S△PAB=×4|y|=8，

∴|y|=4，

∴y=±4．

當y=4時，x2﹣2x﹣3=4，

∴x1=2+1，x2=﹣2+1；

當y=﹣4時，x2﹣2x﹣3=﹣4，∴x=1，

∴滿足條件的點P有3個，

即（2+1，4），（﹣2+1，4），（1，﹣4）．

（3）在拋物線對稱軸上存在點Q，使△QAC的周長最小．

∵AC長為定值，

∴要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小，

∵點A關於對稱軸直線x=1的對稱點是（3，0），

∴Q是直線BC與對稱軸直線x=1的交點，

設過點B，C的直線的解析式y=kx﹣3，把B（3，0）代入，

∴3k﹣3=0，

∴k=1，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

把x=1代入上式，

∴y=﹣2，

∴Q點座標為（1，﹣2）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題