問題詳情:
如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交於點A(﹣1,0)、B兩點,與y軸交於點C(0,﹣3).
(1)求拋物線的函數解析式;
(2)已知點P(m,n)在拋物線上,當﹣2≤m<3時,直接寫n的取值範圍;
(3)拋物線的對稱軸與x軸交於點M,點D與點C關於點M對稱,試問在該拋物線上是否存在點P,使△ABP與△ABD全等?若存在,請求出所有滿足條件的P點的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
【解析】(1)將點C座標代入函數表達式得:y=x2+bx﹣3,
將點A的座標代入上式並解得:b=﹣2,
故拋物線的表達式為:y=x2﹣2x﹣3;
(2)令y=x2﹣2x﹣3=0,則x=3或﹣1,即點B(3,0),
函數的對稱軸為x=1,
m=﹣2時,n=4+4﹣3=5,
m<3,函數的最小值為頂點縱座標的值:﹣4,
故﹣4≤n≤5;
(3)點D與點C(0,﹣3)關於點M對稱,則點D(2,3),
在x軸上方的P不存在,點P只可能在x軸的下方,
如下圖當點P在對稱軸右側時,點P為點D關於x軸的對稱點,此時△ABP與△ABD全等,
即點P(2,﹣3);
同理點C(P′)也滿足△ABP′與△ABD全等,
即點P′(0,﹣3);
故點P的座標為(0,﹣3)或(2,﹣3).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題