問題詳情:
已知:如圖,點A、B分別是∠MON的邊OM、ON上兩點,OC平分∠MON,在∠CON的內部取一點P(點A、P、B三點不在同一直線上),連接PA、PB.
(1)探索∠APB與∠MON、∠PAO、∠PBO之間的數量關係,並*你的結論;
(2)設∠OAP=x°,∠OBP=y°,若∠APB的平分線PQ交OC於點Q,求∠OQP的度數(用含有x、y的代數式表示).
【回答】
(1)見解析;(2)∠OQP=180°+x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°.
【解析】
【試題分析】(1)分下面兩種情況進行説明;
①如圖1,點P在直線AB的右側,∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°,
②如圖2,點P在直線AB的左側,∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO,
(2)分兩種情況討論,如圖3和圖4.
【試題解析】
(1)分兩種情況:
①如圖1,點P在直線AB的右側,∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°,
*:∵四邊形AOBP的內角和為(4﹣2)×180°=360°,
∴∠APB=360°﹣∠MON﹣∠PAO﹣∠PBO;
②如圖2,點P在直線AB的左側,∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO,
*:延長AP交ON於點D,
∵∠ADB是△AOD的外角,
∴∠ADB=∠PAO+∠AOD,
∵∠APB是△PDB的外角,
∴∠APB=∠PDB+∠PBO,
∴∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO;
(2)設∠MON=2m°,∠APB=2n°,
∵OC平分∠MON,
∴∠AOC=∠MON=m°,
∵PQ平分∠APB,
∴∠APQ=∠APB=n°,
分兩種情況:
第一種情況:如圖3,∵∠OQP=∠MOC+∠PAO+∠APQ,即∠OQP=m°+x°+n°①
∵∠OQP+∠CON+∠OBP+∠BPQ=360°,
∴∠OQP=360°﹣∠CON﹣∠OBP﹣∠BPQ,即∠OQP=360°﹣m°﹣y°﹣n°②,
①+②得2∠OQP=360°+x°﹣y°,
∴∠OQP=180°+x°﹣y°;
第二種情況:如圖4,∵∠OQP+∠APQ=∠MOC+∠PAO,
即∠OQP+n°=m°+x°,
∴2∠OQP+2n°=2m°+2x°①,
∵∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO,
∴2n°=2m°+x°+y°②,
①﹣②得2∠OQP=x°﹣y°,
∴∠OQP=x°﹣y°,
綜上所述,∠OQP=180°+x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°.
知識點:角
題型:解答題