如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC邊上一動點，CE⊥BD於E．（1）如圖（1），若BD...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC邊上一動點，CE⊥BD於E．

（1）如圖（1），若BD平分∠ABC時，①求∠ECD的度數（2分）；②延長CE交BA的延長線於點F，補全圖形，探究BD與EC的數量關係，並*你的結論；（4分）  （2）如圖（2），過點A作AF⊥BE於點F，猜想線段BE，CE，AF之間的數量關係，並*你的猜想．（7分）

【回答】

    解：（1）①∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠CBA=45°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBA=22.5°，

∵CE⊥BD，∴∠ECD+∠CDE=90°，∠DBA+∠BDA=90°，

∵∠CDE=∠BDA，∴∠ECD=∠DBA=22.5°；

②BD=2CE．

*：延長CE交BA的延長線於點F，如圖1，

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，∴CE=FE，

在△ABD與△ACF中，

，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD=CF=2CE；

（2）結論：BE﹣CE=2AF．

*：過點A作AH⊥AE，交BE於點H，如圖2，

∵AH⊥AE，∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE，∴∠BAH=∠CAE，

在△ABH與△ACE中，，

∴△ABH≌△ACE（ASA），

∴CE=BH，AH=AE，∴△AEH是等腰直角三角形，∴AF=EF=HF，

∴BE﹣CE=2AF．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題