已知焦點在軸上的雙曲線C的兩條漸近線過座標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與...

問題詳情：

已知焦點在軸上的雙曲線C的兩條漸近線過座標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關於直線對稱．

（I）求雙曲線C的方程；

（II）設直線與雙曲線C的左支交於A，B兩點，另一直線經過M（－2，0）及AB的中點，求直線在軸上的截距b的取值範圍．

【回答】

（1）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，則kx-y=0

∵該直線與圓相切，∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．

故設雙曲線C的方程為．

又雙曲線C的一個焦點為，∴，．

∴雙曲線C的方程為:.

（2）由得．令

∵直線與雙曲線左支交於兩點，等價於方程f(x)=0在上有兩個不等實根．

因此，解得又AB中點為，∴直線l的方程為：． 令x=0，得．

∵，∴，∴

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題