問題詳情：
已知中心在座標原點、焦點在
軸上橢圓的離心率
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
⑴求該橢圓的標準方程；
⑵設橢圓的左，右焦點分別是
和
，直線
且與
軸垂直，動直線
軸垂直，
於點
，求線段
的垂直平分線與
的交點
的軌跡方程，並指明曲線類型.
【回答】
解： ⑴依題意設所求橢圓方程為
得：
①
又以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
即原點到直線
的距離為
，所以
代入①中得
所以，所求橢圓方程為
. ……6分
⑵由
得
、
點的座標分別為
，
，
設
點的座標為
，由題意：
點座標為
，因為線段
的垂直平分線與
的交點為
，
所以
故線段
的垂直平分線與
的交點
的軌跡方程是
，
該軌跡是以
為焦點的拋物線. ……13分
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
國文精選館
