如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切於點D，OB與⊙O相交於點E．（1）求*：AC...

問題詳情：

如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切於點D，OB與⊙O相交於點E．

（1）求*：AC是⊙O的切線；

（2）若BD=，BE=1．求*影部分的面積．

【回答】

【分析】（1）連接OD，作OF⊥AC於F，如圖，利用等腰三角形的*質得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根據切線的*質得OD⊥AB，然後利用角平分線的*質得到OF=OD，從而根據切線的判定定理得到結論；

（2）設⊙O的半徑為r，則OD=OE=r，利用勾股定理得到r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，則OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三邊的關係得到∠B=30°，∠BOD=60°，則∠AOD=30°，於是可計算出AD=OD=，然後根據扇形的面積公式，利用*影部分的面積=2S△AOD﹣S扇形DOF進行計算．

【解答】（1）*：連接OD，作OF⊥AC於F，如圖，

∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，

∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，

∵AB與⊙O相切於點D，

∴OD⊥AB，

而OF⊥AC，

∴OF=OD，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△BOD中，設⊙O的半徑為r，則OD=OE=r，

∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，

∴OD=1，OB=2，

∴∠B=30°，∠BOD=60°，

∴∠AOD=30°，

在Rt△AOD中，AD=OD=，

∴*影部分的面積=2S△AOD﹣S扇形DOF

=2××1×﹣

=﹣．

【點評】本題考查了切線的判定與*質：經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．圓的切線垂直於經過切點的半徑．判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；有切線時，常常“遇到切點連圓心得半徑”．也考查了等腰三角形的*質．

知識點：各地中考

題型：解答題