如圖1，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交於...

問題詳情：

如圖1，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交於點C（0，﹣2），頂點為D，對稱軸交x軸於點E．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）設M為該拋物線對稱軸左側上的一點，過點M作直線MN∥x軸，交該拋物線於另一點N．是否存在點M，使四邊形DMEN是菱形？若存在，請求出點M的座標；若不存在，請説明理由；

（3）連接CE（如圖2），設點P是位於對稱軸右側該拋物線上一點，過點P作PQ⊥x軸，垂足為Q．連接PE，請求出當△PQE與△COE相似時點P的座標．

【回答】

解：（1）設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），

將點C（0，﹣2）代入，得：﹣3a＝﹣2，

解得a＝，

則拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣2；

（2）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，

∴頂點D（1，﹣），即DE＝，

∵四邊形DMEN是菱形，

∴點M的縱座標為﹣，

則x2﹣x﹣2＝﹣，

解得x＝1±，

∵M為該拋物線對稱軸左側上的一點，

∴x＜1，

則x＝1﹣，

∴點M座標為（1﹣，﹣）；

（3）∵C（0，﹣2），E（1，0），

∴OC＝2，OE＝1，

如圖，設P（m， m2﹣m﹣2）（m＞1），

則PQ＝|m2﹣m﹣2|，EQ＝m﹣1，

①若△COE∽△PQE，則＝，即＝，

解得m＝0（舍）或m＝5或m＝2或m＝﹣3（舍），

此時點P座標為（5，8）或（2，﹣2）；

②若△COE∽△EQP，則＝，即＝，

解得m＝（負值捨去）或m＝，

此時點P的座標為（，）或（，）；

綜上，點P的座標為（5，8）或（2，﹣2）或（，）或（，）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題