二次函數y＝ax2+bx+2的圖象交x軸於點A（－1，0），點B（4，0）兩點，交y軸於點C.動點M從點A出發...

問題詳情：

二次函數y＝ax2+bx+2的圖象交x軸於點A（－1，0），點B（4，0）兩點，交y軸於點C.動點M從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向運動，過點M作MN⊥x軸交直線BC於點N，交拋物線於點D，連接AC，設運動的時間為t秒.

     （1）求二次函數y＝ax2+bx+2的表達式；

     （2）連接BD，當t＝時，求△DNB的面積；

     （3）在直線MN上存在一點P，當△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時，求此時點D的座標；

     （4）當t＝時，在直線MN上存在一點Q，使得∠AQC+∠QAC＝900,求點Q的座標.

【回答】

【*】（1）y＝－x2+x+2．

       （2）  2

       （3） D（1，3）

       （4）Q（，）或Q（，－）

【考點】二次函數的綜合應用.

【考察能力】運算求解能力、推理論*能力、空間想象能力.

【難度】困難

【解析】  （1）將點A（－1，0），點B（4，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：

                   解得： 

      所以，二次函數的表達式為：y＝－x2+x+2．

     （2）     ∵ t＝，

∴AM＝3，

又∵OA＝1, ∴ OM＝2, 

     設BC的解析式為：y＝kx+b  (k≠0),將點C（0,2）、B（4，0）代入，得：

     解得： 

所以直線BC的解析式為：y＝－x+2．

將x＝2分別代入y＝－x2+x+2和y＝－x+2中，得：D（2，3）、N（2，1）

∴DN＝2, 

              ∴ S△DNB＝×2×2＝2. 

         (3)過點P作x軸的平行線，交y軸於點E，過點B作y 軸的平行線，交EP的延長線於點F，設D（m，－m2+m+2）、E（0，n）、P（m,n）、F（4，n），由題意得：

               △PEC≌△BFP,

∴PE＝BF,   CE＝PF

∴    ∴  

所以，點D的座標為：（1，3）.

       （4）當t＝時，AM＝,此時M點在二次函數的對稱軸上，

        以M點為圓心，AM長為半徑作圓，交MN於Q1、Q2兩點，

∵C（0，2） ，M（，0）

∴CM＝＝R,

∴C點在該圓上

∴∠ACB＝900,

∴∠CAB+∠CBA＝900,

∵∠CQ1A＝∠CAB,  (同弧所對的圓周角) 

∴∠C Q1A+∠CBA＝900,

∠C Q2A+∠CBA＝900,

∴Q（，）或Q（，－）

知識點：各地中考

題型：解答題