如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸正半軸相交於A、B兩點，與y軸相交於點C，對稱軸為直線...

問題詳情：

如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸正半軸相交於A、B兩點，與y軸相交於點C，對稱軸為直線x＝2，且OA＝OC，則下列結論：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④關於x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一個根為﹣；其中正確的結論個數有（　　）

A．1個                       B．2個                       C．3個                       D．4個

【回答】

C

【分析】

由二次函數圖象的開口方向、對稱軸及與y軸的交點可分別判斷出a、b、c的符號，從而可判斷①；由圖象可知當x＝3時，y＞0，可判斷②；由OA＝OC，且OA＜1，可判斷③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c＝0，結合③可判斷④；從而可得出*．

【詳解】

解：由圖象開口向下，可知a＜0，

與y軸的交點在x軸的下方，可知c＜0，

又對稱軸方程為x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，

∴abc＞0，故①正確；

由圖象可知當x＝3時，y＞0，

∴9a+3b+c＞0，故②錯誤；

由圖象可知OA＜1，

∵OA＝OC，

∴OC＜1，即﹣c＜1，

∴c＞﹣1，故③正確；

假設方程的一個根為x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，

整理可得ac﹣b+1＝0，

兩邊同時乘c可得ac2﹣bc+c＝0，

即方程有一個根為x＝﹣c，

由②可知﹣c＝OA，而當x＝OA是方程的根，

∴x＝﹣c是方程的根，即假設成立，故④正確；

綜上可知正確的結論有三個，

故選：C．

【點睛】

此題主要考查二次函數的圖象和*質，解題的關鍵是正確理解函數圖象和*質．

知識點：二次函數的圖象和*質

題型：選擇題