如圖，拋物線y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的圖象與x軸交於A、B兩點，與y軸交於C點，已知B點座標為（4，0）．...

問題詳情：

如圖，拋物線y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的圖象與x軸交於A、B兩點，與y軸交於C點，已知B點座標為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，並求出圓心座標；

（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，並求出此時M點的座標．

【回答】

【考點】二次函數綜合題．

【分析】方法一：

（1）該函數解析式只有一個待定係數，只需將B點座標代入解析式中即可．

（2）首先根據拋物線的解析式確定A點座標，然後通過*△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心座標．

（3）△MBC的面積可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設一條平行於BC的直線，那麼當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M．

方法二：

（1）略．

（2）通過求出A，B，C三點座標，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC，從而求出圓心座標．

（3）利用三角形面積公式，過M點作x軸垂線，水平底與鉛垂高乘積的一半，得出△MBC的面積函數，從而求出M點．

【解答】方法一：

解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：

0=16a﹣×4﹣2，即：a=；

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．

（2）由（1）的函數解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；

所以該外接圓的圓心為AB的中點，且座標為：（，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：y=x﹣2；

設直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：

x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；

∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；

∴直線l：y=x﹣4．

所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有：

，

解得：

即 M（2，﹣3）．

過M點作MN⊥x軸於N，

S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

方法二：

（1）略．

（2）∵y=（x﹣4）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（4，0）．C（0，﹣2），

∴KAC==﹣2，KBC==，

∴KAC×KBC=﹣1，∴AC⊥BC，

∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，△ABC的外接圓的圓心是AB的中點，△ABC的外接圓的圓心座標為（，0）．

（3）過點M作x軸的垂線交BC′於H，

∵B（4，0），C（0，﹣2），

∴lBC：y=x﹣2，

設H（t， t﹣2），M（t， t2﹣t﹣2），

∴S△MBC=×（HY﹣MY）（BX﹣CX）=×（t﹣2﹣t2+t+2）（4﹣0）=﹣t2+4t，

∴當t=2時，S有最大值4，

∴M（2，﹣3）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題