問題詳情:
如圖1,已知二次函數y=ax2+x+c(a≠0)的圖象與y軸交於點A(0,4),與x軸交於點B、C,點C座標為(8,0),連接AB、AC.
(1)請直接寫出二次函數y=ax2+x+c的表達式;
(2)判斷△ABC的形狀,並説明理由;
(3)若點N在x軸上運動,當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時,請寫出此時點N的座標;
(4)如圖2,若點N在線段BC上運動(不與點B、C重合),過點N作NM∥AC,交AB於點M,當△AMN面積最大時,求此時點N的座標.
【回答】
解:(1)∵二次函數y=ax2+x+c的圖象與y軸交於點A(0,4),與x軸交於點B、C,點C座標為(8,0),
∴,
解得.
∴拋物線表達式:y=﹣x2+x+4;
(2)△ABC是直角三角形.
令y=0,則﹣x2+x+4=0,
解得x1=8,x2=﹣2,
∴點B的座標為(﹣2,0),
由已知可得,
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∵BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形.
(3)∵A(0,4),C(8,0),
∴AC==4,
①以A為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸於N,此時N的座標為(﹣8,0),
②以C為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸於N,此時N的座標為(8﹣4,0)或(8+4,0)
③作AC的垂直平分線,交x軸於N,此時N的座標為(3,0),
綜上,若點N在x軸上運動,當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時,點N的座標分別為(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0).
(4)如圖,
設點N的座標為(n,0),則BN=n+2,過M點作MD⊥x軸於點D,
∴MD∥OA,
∴△BMD∽△BAO,
∴=,
∵MN∥AC
∴=,
∴=,
∵OA=4,BC=10,BN=n+2
∴MD=(n+2),
∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
=BN•OA﹣BN•MD
=(n+2)×4﹣×(n+2)2
=﹣(n﹣3)2+5,
當n=3時,△AMN面積最大是5,
∴N點座標為(3,0).
∴當△AMN面積最大時,N點座標為(3,0).
知識點:各地中考
題型:綜合題