如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB於點E，過點C的切線交AB的延長線於點F，    連接DF． ...

問題詳情：

       如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB於點E，過點C的切線交AB的延長線於點F，     連接DF．

   （1）求*：DF是⊙O的切線；

   （2）連接BC，若∠BCF=30°，BF=2，求CD的長．

【回答】

解：（1）*：連接OD，如圖，

            ∵CF是⊙O的切線，∴∠OCF=90°，

            ∴∠OCD+∠DCF=90°，∵直徑AB⊥弦CD，

            ∴CE=ED，即OF為CD的垂直平分線，∴CF=DF，

            ∴∠CDF=∠DCF，∵OC=OD，∴∠CDO=∠OCD，

            ∴∠CDO+∠CDF=∠OCD+∠DCF=90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切線；

       （2）∵∠OCF=90°，∠BCF=30°，∴∠OCB=60°，∵OC=OB，∴△OCB為等邊

            三角形，∴∠COB=60°，∴∠CFO=30°，∴FO=2OC=2OB，∴FB=OB=OC=2，

            在Rt△OCE中，∵∠COE=60°，∴OE=OC=1，∴CE=，

            ∴CD=2CE=2．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題