如圖，點D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點B作⊙O的切線，交AD的延長線於點C，E是BC的中點，連接DE並延長...

問題詳情：

如圖，點D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點B作⊙O的切線，交AD的延長線於點C，E是BC的中點，連接DE並延長與AB的延長線交於點F．

（1）求*：DF是⊙O的切線；

（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的長．

【回答】

【分析】（1）連接OD，由AB為⊙O的直徑得∠BDC＝90°，根據BE＝EC知∠1＝∠3、由OD＝OB知∠2＝∠4，根據BC是⊙O的切線得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°，得*；

（2）根據直角三角形的*質得到∠F＝30°，BE＝EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF＝6，根據三角形的內角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，根據等腰三角形的*質即可得到結論．

【解答】解：（1）如圖，連接OD，BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

在Rt△BDC中，∵BE＝EC，

∴DE＝EC＝BE，

∴∠1＝∠3，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠3+∠4＝90°，

∴∠1+∠4＝90°，

又∵∠2＝∠4，

∴∠1+∠2＝90°，

∴DF為⊙O的切線；

（2）∵OB＝BF，

∴OF＝2OD，

∴∠F＝30°，

∵∠FBE＝90°，

∴BE＝EF＝2，

∴DE＝BE＝2，

∴DF＝6，

∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，

∴∠FOD＝60°，

∵OD＝OA，

∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，

∴∠A＝∠F，

∴AD＝DF＝6．

【點評】本題考查了切線的判定和*質，直角三角形的*質，等腰三角形的判定和*質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：解答題