問題詳情:
如圖,A(0,4)是直角座標系y軸上一點,動點P從原點O出發,沿x軸正半軸運動,速度為每秒1個單位長度,以P為直角頂點在第一象限內作等腰Rt△APB.設P點的運動時間為t秒.
(1)若AB∥x軸,求t的值;
(2)當t=3時,座標平面內有一點M,使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等,請直接寫出點M的座標;
(3)設點A關於x軸的對稱點為A',連接A'B,
在點P運動的過程中,∠OA'B的度數是否會發生變化,
若不變,請求出∠OA'B的度數,若改變,請説明理由.
【回答】
【解答】解:(1)過點B作BC⊥x軸於點C,如圖1所示.
∵AO⊥x軸,BC⊥x軸,且AB∥x軸,
∴四邊形ABCO為長方形,
∴AO=BC=4.
∵△APB為等腰直角三角形,
∴AP=BP,∠PAB=∠PBA=45°,
∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°,
∴△AOP為等腰直角三角形,
∴OA=OP=4.
t=4÷1=4(秒),
故t的值為4.
(2)點M的座標為(4,7)或(6,﹣4)或(10,﹣1)或(0,4);
(3)∠OA'B=45°,不發生變化;理由如下:
∵△APB為等腰直角三角形,
∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°.
又∵∠PAO+∠APO=90°,
∴∠PAO=∠BPC.
在△PAO和△BPC中,,
∴△PAO≌△BPC(AAS),
∴AO=PC,BC=PO.
∵點A(0,4),點P(t,0)
∴PC=AO=4,BC=PO=t,CO=PC+PO=4+t
∴點B(4+t,t);
∴點B在直線y=x﹣4上
又∵點A關於x軸的對稱點為A'(0,﹣4)也在直線y=x﹣4上,
∴∠OA'B=45°.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題