問題詳情:
如圖,數軸上A,B兩點對應的有理數分別為xA=﹣5和xB=6,動點P從點A出發,以每秒1個單位的速度沿數軸在A,B之間往返運動,同時動點Q從點B出發,以每秒2個單位的速度沿數軸在B,A之間往返運動.設運動時間為t秒.
(1)當t=2時,點P對應的有理數xP=______,PQ=______;
(2)當0<t≤11時,若原點O恰好是線段PQ的中點,求t的值;
(3)我們把數軸上的整數對應的點稱為“整點”,當P,Q兩點第一次在整點處重合時,直接寫出此整點對應的數.
【回答】
(1)﹣3,5;(2)t=1或7;(3)6.
【分析】
(1)先求出P,Q對應的數,再求PQ的值;(2)結合數軸分析:①當0<t<5.5時,點Q運動還未到點A,有AP=t,BQ=2t.此時OP=|5﹣t|,OQ=|6﹣2t|.②當5.5<t≤11時,點P在數軸上原點右側,點Q已經沿*線BA方向運動到點A後折返,要使原點O恰好是線段PQ的中點,點Q必須位於原點O左側;列出相應方程即可;(3)分兩種情況求出t: ①當0<t<5.5時,點Q運動還未到點A,當P,Q兩點重合時,P與Q相遇;②當5.5<t≤11時,點P在數軸上原點右側,點Q已經沿*線BA方向運動到點A後折返,當P,Q兩點重合時,點Q追上點P,AQ=AP.
【詳解】
解:(1)當t=2時,點P對應的有理數xP=﹣5+1×2=﹣3,
點Q對應的有理數xQ=6﹣2×2=2,
∴PQ=2﹣(﹣3)=5.
故*為﹣3,5;
(2)∵xA=﹣5,xB=6,
∴OA=5,OB=6.
由題意可知,當0<t≤11時,點P運動的最遠路徑為數軸上從點A到點B,點Q運動的最遠路徑為數軸上從點B到點A並且折返回到點B.
對於點P,因為它的運動速度vP=1,點P從點A運動到點O需要5秒,運動到點B需要11秒.
對於點Q,因為它的運動速度vQ=2,點Q從點B運動到點O需要3秒,運動到點A需要5.5秒,返回到點B需要11秒.
要使原點O恰好是線段PQ的中點,需要P,Q兩點分別在原點O的兩側,且OP=OQ,此時t≠5.5.
①當0<t<5.5時,點Q運動還未到點A,有AP=t,BQ=2t.
此時OP=|5﹣t|,OQ=|6﹣2t|.
∵原點O恰好是線段PQ的中點,
∴OP=OQ,
∴|5﹣t|=|6﹣2t|,
解得t=1或t=.
檢驗:當t=時,P,Q兩點重合,且都在原點O左側,不合題意捨去;t=1符合題意.
∴t=1;
②當5.5<t≤11時,點P在數軸上原點右側,點Q已經沿*線BA方向運動到點A後折返,要使原點O恰好是線段PQ的中點,點Q必須位於原點O左側,此時P,Q兩點的大致位置如下圖所示.
此時,OP=AP﹣OA=t﹣5,OQ=OA﹣AQ=5﹣2(t﹣5.5)=16﹣2t.
∵原點O恰好是線段PQ的中點,
∴OP=OQ,
∴t﹣5=16﹣2t,
解得t=7.
檢驗:當t=7時符合題意.
∴t=7.
綜上可知,t=1或7;
(3)①當0<t<5.5時,點Q運動還未到點A,當P,Q兩點重合時,P與Q相遇,此時需要的時間為:秒,
相遇點對應的數為﹣5+=﹣,不是整點,不合題意捨去;
②當5.5<t≤11時,點P在數軸上原點右側,點Q已經沿*線BA方向運動到點A後折返,當P,Q兩點重合時,點Q追上點P,AQ=AP,
2(t﹣5.5)=t,解得t=11,
追擊點對應的數為﹣5+11=6.
故當P,Q兩點第一次在整點處重合時,此整點對應的數為6.
【點睛】
結合數軸分析問題,要分類討論,根據位置關係列出方程.
知識點:實際問題與一元一次方程
題型:解答題