問題詳情:
如圖1,直線AB與x軸、y軸分別相交於點A、B,將線段AB繞點A順時針旋轉90°,得到AC,連接BC,將△ABC沿*線BA平移,當點C到達x軸時運動停止.設平移距離為m,平移後的圖形在x軸下方部分的面積為S,S關於m的函數圖象如圖2所示(其中0<m≤a,a<m≤b時,函數的解析式不同).
(1)填空:△ABC的面積為 ;
(2)求直線AB的解析式;
(3)求S關於m的解析式,並寫出m的取值範圍.
【回答】
(1);(2)y=﹣x+1;(3)S=.
【分析】
(1)由圖2結合平移即可得出結論;
(2)判斷出△AOB≌△CEA,得出AE=OB,CE=OA,再由圖2知,點C的縱座標是點B縱座標的2倍,即可利用三角形ABC的面積求出OB,OA,即可得出結論;
(3)分兩種情況,利用三角形的面積公式或三角形的面積差即可得出結論.
【詳解】
解:(1)結合△ABC的移動和圖2知,點B移動到點A處,
就是圖2中,m=a時,S=S△A'B'D=,點C移動到x軸上時,
即:m=b時,S=S△A'B'C'=S△ABC=.
故*為;
(2)如圖2,過點C作CE⊥x軸於E,
∴∠AEC=∠BOA=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠OAB+∠CAE=90°,
∵∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠OBA=∠CAE,
由旋轉知,AB=AC,
∴△AOB≌△CEA,
∴AE=OB,CE=OA,
由圖2知,點C的縱座標是點B縱座標的2倍,
∴OA=2OB,
∴AB2=5OB2,
由(1)知,S△ABC==AB2=×5OB2,
∴OB=1,
∴OA=2,
∴A(2,0),B(0,1),
∴直線AB的解析式為y=﹣x+1;
(3)由(2)知,AB2=5,
∴AB=,
①當0≤m≤時,如圖3,
∵∠AOB=∠AA'F,∠OAB=∠A'AF,
∴△AOB∽△AA'F,
∴,
由運動知,AA'=m,∴,
∴A'F=m,
∴S=AA'×A'F=m2,
②當<m≤2時,如圖4,
同①的方法得:A'F=m,
∴C'F=﹣m,
過點C作CE⊥x軸於E,過點B作BM⊥CE於E,
∴BM=3,CM=1,
易知,△ACE∽△FC'H,
∴,
∴,
∴C'H=.
在Rt△FHC'中,FH=C'H=,
由平移知,∠C'GF=∠CBM,
∵∠BMC=∠GHC',
∴△BMC∽△GHC',
∴,
∴,
∴GH=,
∴GF=GH﹣FH=,
∴S=S△A'B'C'﹣S△C'FG=﹣××=﹣(2﹣m)2,
即:S=.
【點睛】
此題是二次函數綜合題,主要考查了待定係數法,全等三角形的判定和*質,三角形的面積公式,平移的*質,相似三角形的判定和*質,構造相似三角形是解本題的關鍵.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題