如圖1，直線y=2x+2分別交x軸、y軸於點A、B，點C為x軸正半軸上的點，點D從點C處出發，沿線段CB勻速運...

問題詳情：

如圖 1，直線 y=2x+2 分別交 x 軸、y 軸於點A、B，點C為x軸正半軸上的點，點 D從點C處出發，沿線段CB勻速運動至點 B 處停止，過點D作DE⊥BC，交x軸於點E，點 C′是點C關於直線DE的對稱點，連接 EC′，若△ DEC′與△ BOC 的重疊部分面積為S，點D的運動時間為t（秒），S與 t 的函數圖象如圖 2 所示．

（1）VD =       ,C 座標為     ；

（2）圖2中，m=     ，n=     ，k=     .

（3）求出S與t 之間的函數關係式（不必寫自變量t的取值範圍）.

【回答】

（1）點D的運動速度為1單位長度/秒，點C座標為（4，0）．（2）；；．（3）①當點C′在線段BC上時， S＝t2；②當點C′在CB的延長線上， S=−t2＋t−；③當點E在x軸負半軸， S＝t2−4t＋20．

【分析】

（1）根據直線的解析式先找出點B的座標，結合圖象可知當t＝時，點C′與點B重合，通過三角形的面積公式可求出CE的長度，結合勾股定理可得出OE的長度，由OC＝OE＋EC可得出OC的長度，即得出C點的座標，再由勾股定理得出BC的長度，根據CD＝BC，結合速度＝路程÷時間即可得出結論；

（2）結合D點的運動以及面積S關於時間t的函數圖象的拐點，即可得知當“當t＝k時，點D與點B重合，當t＝m時，點E和點O重合”，結合∠C的正餘弦值通過解直角三角形即可得出m、k的值，再由三角形的面積公式即可得出n的值；

（3）隨着D點的運動，按△DEC′與△BOC的重疊部分形狀分三種情況考慮：①通過解直角三角形以及三角形的面積公式即可得出此種情況下S關於t的函數關係式；②由重合部分的面積＝S△CDE−S△BC′F，通過解直角三角形得出兩個三角形的各邊長，結合三角形的面積公式即可得出結論；③通過邊與邊的關係以及解直角三角形找出BD和DF的值，結合三角形的面積公式即可得出結論．

【詳解】

（1）令x＝0，則y＝2，即點B座標為（0，2），

∴OB＝2．

當t＝時，B和C′點重合，如圖1所示，

此時S＝×CE•OB＝，

∴CE＝，

∴BE＝．

∵OB＝2，

∴OE＝，

∴OC＝OE＋EC＝＋＝4，BC＝，CD＝，

÷＝1（單位長度/秒），

∴點D的運動速度為1單位長度/秒，點C座標為（4，0）．

故*為：1單位長度/秒；（4，0）；

（2）根據圖象可知：

當t＝k時，點D與點B重合，

此時k＝＝2；

當t＝m時，點E和點O重合，如圖2所示．

sin∠C＝＝＝，cos∠C＝，

OD＝OC•sin∠C＝4×＝，CD＝OC•cos∠C＝4×＝．

∴m＝＝，n＝BD•OD＝×（2−）×＝．

故*為：；；2．

（3）隨着D點的運動，按△DEC′與△BOC的重疊部分形狀分三種情況考慮：

①當點C′在線段BC上時，如圖3所示．

此時CD＝t，CC′＝2t，0＜CC′≤BC，

∴0＜t≤．

∵tan∠C＝，

∴DE＝CD•tan∠C＝t，

此時S＝CD•DE＝t2；

②當點C′在CB的延長線上，點E在線段OC上時，如圖4所示．

此時CD＝t，BC′＝2t−2，DE＝CD•tan∠C＝t，CE＝＝t，OE＝OC−CE＝4−t，

∵，即，

解得：＜t≤．

由（1）可知tan∠OEF＝＝，

∴OF＝OE•tan∠OEF＝t，BF＝OB−OF＝，

∴FM＝BF•cos∠C＝．

此時S＝CD•DE−BC′•FM＝−；

③當點E在x軸負半軸，點D在線段BC上時，如圖5所示．

此時CD＝t，BD＝BC−CD＝2−t，CE＝t，DF＝，

∵，即，

∴＜t≤2．

此時S＝BD•DF＝×2×(2−t)2＝t2−4t＋20．

綜上，當點C′在線段BC上時， S＝t2；當點C′在CB的延長線上， S=−t2＋t−；當點E在x軸負半軸， S＝t2−4t＋20．

【點睛】

本題考查了勾股定理、解直角三角形以及三角形的面積公式，解題的關鍵是：（1）求出BC、OC的長度；（2）根據圖象能夠了解當t＝m和t＝k時，點DE的位置；（3）分三種情況求出S關於t的函數關係式．本題屬於中檔題，（1）（2）難度不大；（3）需要畫出圖形，利用數形結合，通過解直角三角形以及三角形的面積公式找出S關於t的函數解析式．

知識點：實際問題與二次函數

題型：解答題