如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB上一點，以BD為直徑的⊙O和AB相切於點P．（1）求*：BP平...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB上一點，以BD為直徑的⊙O和AB相切於點P．

（1）求*：BP平分∠ABC；   

（2）若PC=1，AP=3，求BC的長．   

【回答】

（1）*：連接OP， ∵AC是⊙O的切線， ∴OP⊥AC，BC⊥AC， ∴OP∥BC，                                         ∴∠OPB=∠PBC， ∵OP=OB， ∴∠OPB=∠OBP， ∴∠PBC=∠OBP， ∴BP平分∠ABC （2）作PH⊥AB於H． ∵PB平分∠ABC，PC⊥BC，PH⊥AB， ∴PC=PH=1， 在Rt△APH中，AH= =2 ，                    ∵∠A=∠A，∠AHP=∠C=90°， ∴△APH∽△ABC， ∴ = ， ∴ = ， ∴AB=3 ， ∴BH=AB﹣AH= ， 在Rt△PBC和Rt△PBH中， ， ∴Rt△PBC≌Rt△PBH， ∴BC=BH= ．                    【考點】全等三角形的判定與*質，角平分線的*質，勾股定理，切線的*質，相似三角形的判定與*質                【解析】【分析】（1） 根據切線的*質易*OP∥BC，由平行線的*質定理得∠OPB=∠PBC，由等邊對等角得∠OPB=∠OBP，進而∠PBC=∠OBP，即BP平分∠ABC；（2） 作PH⊥AB於H．  由角平分線的*質定理得PC=PH=1，在Rt△APH中由勾股定理得AH得長    度，進而判斷出△APH∽△ABC，再由相似三角形的對應邊成比例得出AB的長，進而得出BH的長，再*出Rt△PBC≌Rt△PBH，由全等三角形對應邊成比例就可以得出結論。   

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題