如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB＝90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在...

問題詳情：

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB＝90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交於點E．

（1）求*：直線BD與⊙O相切；

（2）若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直徑．

【回答】

【解答】（1）*：連接OD、DE，

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ADO，

∵∠A+∠CDB＝90°，

∴∠ADO+∠CDB＝90°，

∴∠ODB＝180°﹣90°＝90°，

∴OD⊥BD，

∵OD是⊙O半徑，

∴直線BD與⊙O相切；

（2）解：∵AE是⊙O直徑，

∴∠ADE＝90°＝∠C，

∴BC∥DE，

∴△ADE∽△ACB，

∴＝

∵D為AC中點，

∴AD＝DC＝AC，

∴AE＝BE＝AB，

DE是△ACB的中位線，

∴AE＝AB，DE＝BC＝×6＝3，

設AD＝4a，AE＝5a，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝3a＝3，

解得：a＝1，

∴AE＝5a＝5，

答：⊙O的直徑是5．

【點評】本題考查的知識點有圓周角定理、切線的判定、三角形的中位線定理，解（1）小題的關鍵是求出OD⊥BD，解（2）小題的關鍵是求出DE長，題目比較好，綜合*比較強．

知識點：相似三角形

題型：綜合題