問題詳情:
如圖1,點O是正方形ABCD兩對角線的交點. 分別延長OD到點G,OC到點E,使OG=2OD,OE=2OC,然後以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.
(1)求*:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉角(0°< <360°)得到正方形,如圖2.
①在旋轉過程中,當∠是直角時,求的度數;(註明:當直角邊為斜邊一半時,這條直角邊所對的鋭角為30度)
②若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉過程中,求長的最大值和此時的度數,直接寫出結果不必説明理由.
圖1 圖2
【回答】
(1)如圖1,延長ED交AG於點H.
∵O為正方形ABCD對角線的交點.∴OA=OD,OA⊥OD.
∵OG=OE,∴Rt△AOG≌Rt△DOE,∴∠AGO=∠DEO.
∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠DEO+∠GAO=90°,∴∠AHE=90°,即DE⊥AG. (4分)
(2)①在旋轉過程中,∠成為直角有以下兩種情況:
(ⅰ)α由0°增大到90°過程中,當∠為直角時,
∵,∴在Rt△中,,
∴∠.∵OA⊥OD,∴∠DOG′=90°-∠=30°,即α=30°.(6分)
(2)α由90°增大到180°過程中,當∠為直角時,
同理可求的∠AOG′=30°,所以α=90°+∠=150°.綜上,當∠為直角時,α=30°或150°. (8分)
②AF′長的最大值是,此時α=315°.理由:當AF′長的最大時,點F′在直線AC上,如圖所示:
∵AB=BC=CD=AD=1,∴AC=BD=,AO=OD=.
∴OE′=E′F′=2OD=.∴OF′=.∴AF′=AO+OF′=.
∵∠E′OF′=45°∴旋轉角α=360°-45°=315°.(12分)
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題