問題詳情:
如圖,AC為⊙O的直徑,B為⊙O上一點,∠ACB=30°,延長CB至點D,使得CB=BD,過點D作DE⊥AC,垂足E在CA的延長線上,連接BE.
(1)求*:BE是⊙O的切線;
(2)當BE=3時,求圖中*影部分的面積.
【回答】
【考點】ME:切線的判定與*質;MO:扇形面積的計算.
【分析】(1)連接BO,根據△OBC和△BCE都是等腰三角形,即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°,再根據三角形內角和即可得到∠EBO=90°,進而得出BE是⊙O的切線;
(2)在Rt△ABC中,根據∠ACB=30°,BC=3,即可得到半圓的面積以及Rt△ABC的面積,進而得到*影部分的面積.
【解答】解:(1)如圖所示,連接BO,
∵∠ACB=30°,[
∴∠OBC=∠OCB=30°,
∵DE⊥AC,CB=BD,
∴Rt△DCE中,BE=CD=BC,
∴∠BEC=∠BCE=30°,
∴△BCE中,∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°,
∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°,
∴BE是⊙O的切線;
(2)當BE=3時,BC=3,
∵AC為⊙O的直徑,
∴∠ABC=90°,
又∵∠ACB=30°,
∴AB=tan30°×BC=,
∴AC=2AB=2,AO=,
∴*影部分的面積=半圓的面積﹣Rt△ABC的面積=π×AO2﹣AB×BC=π×3﹣××3=﹣.
【點評】本題主要考查了切線的判定以及扇形面積的計算,解題時注意:經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線.
知識點:各地中考
題型:綜合題