如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位於AB異側的兩點，連接BD並延長至點C，使得CD=BD，連接AC交⊙O...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位於AB異側的兩點，連接BD並延長至點C，使得CD=BD，連接AC交⊙O於點F，連接AE、DE、DF．

（1）*：∠E=∠C；

（2）若∠E=55°，求∠BDF的度數；

（3）設DE交AB於點G，若DF=4，cosB=，E是弧AB的中點，求EG•ED的值．

【回答】

（1）見解析；（2）∠BDF=110°；（3）18

【分析】

（1）直接利用圓周角定理得出AD⊥BC，勁兒利用線段垂直平分線的*質得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；

（2）利用圓內接四邊形的*質得出∠AFD=180°﹣∠E，進而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出*；

（3）根據cosB=，得出AB的長，再求出AE的長，進而得出△AEG∽△DEA，求出*即可．

【詳解】

解：（1）*：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC，

∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C；

（2）解：∵四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，

∴∠AFD=180°﹣∠E，

又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，

∴∠CFD=∠E=55°，

又∵∠E=∠C=55°，

∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；

（3）解：連接OE，

∵∠CFD=∠E=∠C，

∴FD=CD=BD=4，

在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，

∴AB=6，

∵E是的中點，AB是⊙O的直徑，

∵∠AOE=90°，且AO=OE=3，

∴AE=，

∵E是的中點，

∴∠ADE=∠EAB，

∴△AEG∽△DEA，

∴，

即EG•ED==18．

【點睛】

此題主要考查了圓的綜合題、圓周角定理以及相似三角形的判定與*質以及圓內接四邊形的*質等知識，根據題意得出AE，AB的長是解題關鍵．

知識點：正多邊形和圓

題型：解答題