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已知函數.（1）討論f(x)的單調，並f(x)有且僅有兩個零點；（2）設x0是f(x)的一個零點，*曲...

欄目: 練習題 / 發佈於: / 人氣:4.77K

問題詳情：

已知函數.

（1）討論f(x)的單調*，並*f(x)有且僅有兩個零點；

（2）設x0是f(x)的一個零點，*曲線y=ln x 在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線的切線.

【回答】

（1）函數在和上是單調增函數，*見解析；

（2）*見解析.

【分析】

（1）對函數求導，結合定義域，判斷函數的單調*；

（2）先求出曲線在處的切線，然後求出當曲線切線的斜率與斜率相等時，*曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可.

【詳解】

（1）函數的定義域為，

，因為函數的定義域為，所以，因此函數在和上是單調增函數；

當，時，，而，顯然當，函數有零點，而函數在上單調遞增，故當時，函數有唯一的零點；

當時，，

因為，所以函數在必有一零點，而函數在上是單調遞增，故當時，函數有唯一的零點

綜上所述，函數的定義域內有2個零點；

（2）因為是的一個零點，所以

，所以曲線在處的切線的斜率，故曲線在處的切線的方程為：而，所以的方程為，它在縱軸的截距為.

設曲線的切點為，過切點為切線，，所以在處的切線的斜率為，因此切線的方程為，

當切線的斜率等於直線的斜率時，即，

切線在縱軸的截距為，而，所以，直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線.

【點睛】

本題考查了利用導數求已知函數的單調*、考查了曲線的切線方程，考查了數學運算能力.

知識點：導數及其應用

題型：解答題

Tags：FX 零點有且 x0

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