問題詳情:
如圖,已知直線l與⊙O相離,OA⊥l於點A,OA=5,OA與⊙O相交於點P,AB與⊙O相切於點B,BP的延長線交直線l於點C.
(1)試判斷線段AB與AC的數量關係,並説明理由;
(2)若在⊙O上存在點Q,使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形,求⊙O的半徑r的取值範圍.
【回答】
(1)AB=AC(2)≤r<5
【解析】
(1)連接,根據切線的*質和垂直得出,推出,求出,根據等腰三角形的判定推出即可;
(2)根據已知得出在的垂直平分線上,作出線段的垂直平分線,作,求出,求出範圍,再根據相離得出,即可得出*.
【詳解】
(1)AB=AC,理由如下:
如圖1,連結OB.
∵AB切⊙O於B,OA⊥AC,
∴∠OBA=∠OAC=90°,
∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,
∵OP=OB,
∴∠OBP=∠OPB,
∵∠OPB=∠APC,
∴∠ACP=∠ABC,
∴AB=AC;
(2)如圖2,作出線段AC的垂直平分線MN,作OE⊥MN,則可以推出;
又∵圓O與直線MN有交點,
∴,
,
,
r2≥5,
∴,
又∵圓O與直線l相離,
∴r<5,
即.
圖1 圖2
【點睛】
本題考查了等腰三角形的*質和判定、直線與圓的位置關係等知識點的應用,主要培養學生運用*質進行推理和計算的能力.本題綜合*比較強,有一定的難度.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題