如圖，△ABC內接於⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交於點H，AC的延長線與過點B的直線相交於點E，且∠A...

問題詳情：

如圖，△ABC內接於⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交於點H，AC的延長線與過點B的直線相交於點E，且∠A=∠EBC．

（1）求*：BE是⊙O的切線；

（2）已知CG∥EB，且CG與BD、BA分別相交於點F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．

【回答】

（1）*見解析；（2）．

【解析】

（1）欲*BE是⊙O的切線，只要*∠EBD=90°．

（2）由△ABC∽△CBG，得求出BC，再由△BFC∽△BCD，得=BF•BD求出BF，CF，CG，GB，再通過計算髮現CG=AG，進而可以*CH=CB，求出AC即可解決問題．

【詳解】

（1）連接CD，

∵BD是直徑，

∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，

∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，

∴∠CBD+∠EBC=90°，

∴BE⊥BD，

∴BE是⊙O切線．

（2）∵CG∥EB，

∴∠BCG=∠EBC，

∴∠A=∠BCG，

∵∠CBG=∠ABC

∴△ABC∽△CBG，

∴，即=BG•BA=48，

∴BC=，

∵CG∥EB，

∴CF⊥BD，

∴△BFC∽△BCD，

∴=BF•BD，

∵DF=2BF，

∴BF=4，

在RT△BCF中，CF==，

∴CG=CF+FG=，

在RT△BFG中，BG==，

∵BG•BA=48，

∴BA=，即AG=，

∴CG=AG，

∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，

∴∠CHF=∠CBF，∴CH=CB=，

∵△ABC∽△CBG，

∴，

∴AC==，

∴AH=AC﹣CH=．

【點睛】

*切線常用方法為鏈接切點與圓心，通過角的代換或者全等，平行等來*直角．並且構造直徑所對的圓周角是常見找直角的方法．靈活運用圓周角定理找等角及相似三角形．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題