如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2，點D是BC的中點，點E是邊AB上一動點，沿DE所在直...

問題詳情：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2，點D是BC的中點，點E是邊AB上一動點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB於點F．若△AB′F為直角三角形，則AE的長為　　．

【回答】

3或【分析】利用三角函數的定義得到∠B=30°，AB=4，再利用摺疊的*質得DB=DC=，EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°，設AE=x，則BE=4﹣x，EB′=4﹣x，討論：當∠AFB′=90°時，則∴BF=cos30°=，則EF=﹣（4﹣x）=x﹣，於是在Rt△B′EF中利用EB′=2EF得到4﹣x=2（x﹣），解方程求出x得到此時AE的長；當∠FB′A=90°時，作EH⊥AB′於H，連接AD，如圖，*Rt△ADB′≌Rt△ADC得到AB′=AC=2，再計算出∠EB′H=60°，則B′H=（4﹣x），EH=（4﹣x），接着利用勾股定理得到（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2，方程求出x得到此時AE的長．

【解答】解：∵∠C=90°，BC=2，AC=2，

∴tanB===，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC=4，

∵點D是BC的中點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB於點F

∴DB=DC=，EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°，

設AE=x，則BE=4﹣x，EB′=4﹣x，

當∠AFB′=90°時，

在Rt△BDF中，cosB=，

∴BF=cos30°=，

∴EF=﹣（4﹣x）=x﹣，

在Rt△B′EF中，∵∠EB′F=30°，

∴EB′=2EF，

即4﹣x=2（x﹣），解得x=3，此時AE為3；

當∠FB′A=90°時，作EH⊥AB′於H，連接AD，如圖，

∵DC=DB′，AD=AD，

∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，

∴AB′=AC=2，

∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，

∴∠EB′H=60°，

在Rt△EHB′中，B′H=B′E=（4﹣x），EH=B′H=（4﹣x），

在Rt△AEH中，∵EH2+AH2=AE2，

∴（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2，解得x=，此時AE為．

綜上所述，AE的長為3或．

故*為3或．

【點評】本題考查了摺疊的*質：摺疊是一種對稱變換，它屬於軸對稱，摺疊前後圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關係和勾股定理．

知識點：各地中考

題型：填空題