如圖，在平面直角座標系中，函數的圖像交軸於點、，交軸於點，它的對稱軸交軸於點．過點作軸交拋物線於點，連接並延長...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，函數的圖像交軸於點、，交軸於點，它的對稱軸交軸於點．過點作軸交拋物線於點，連接並延長交軸於點，交拋物線於點．直線交於點，交拋物線於點，連接、．

                               備用圖            

（1）點的座標為：______；

（2）當是直角三角形時，求的值；

（3）與有怎樣的位置關係？請説明理由．

【回答】

(1)(1,0)；(2) 或；(3)平行，理由見解析

【分析】

(1)根據二次函數的對稱軸為，代入即可求出E點座標；

(2)將ED、AF的解析式用的代數式表示，然後由DE解析式令y=0求出F點座標，由AF解析式令y=求出H點座標，再根據△HEF是直角三角形分哪個頂點為直角頂點進行討論，由勾股定理求解即可；

(3)直線DE和拋物線聯立方程組求出G點座標，直線AF和拋物線聯立方程組求出K點座標，最後計算直線GK的和直線HE的相等即可求解．

【詳解】

解：(1)由題意可知，拋物線的對稱軸為，

∴E點的座標為(1,0)，

故*為(1,0)．

(2)由題意知，C點座標為(0,3a)，C和D點關於對稱軸對稱，∴D座標為(2,3a)，

設直線DE的解析式為y=kx+m，代入E(1,0)和D(2,3a)，

即，解得，

∴直線DE的解析式為y=3ax-3a，

令y=0，∴F(0,-3a)，

令中，即：，

解得，∴A(-1，0)，

設直線AF的解析式為y=bx+t，代入A(-1,0)，F(0,-3a),

即，解得，

∴直線AF的解析式為y=-3ax-3a，

令y=-3ax-3a中y=3a，解得H點座標(-2，3a)，

∴H(-2，3a)，E(1，0)，F(0,-3a)

故EF²=(1-0)²+(0+3a)²=1+9a²，

EH²=(1+2)²+(0-3a)²=9+9a²，

FH²=(0+2)²+(-3a-3a)²=36a²+4，

∵△EFH為直角三角形，∴分類討論誰是直角頂角，

情況一：∠E為直角頂角時，則EF²+EH²=FH²，

即：1+9a²+9+9a²=36a²+4，解得：a=，又a>0，故a=；

情況二：∠F為直角頂角時，則EF²+FH²=EH²，

即：1+9a²+36a²+4=9+9a²，解得：a=，又a>0，故a=；

情況三：∠H為直角頂角時，則FH²+EH²=EF²，

即：36a²+4+9+9a²=1+9a²，此時無解；

∴綜上所述，a的值為或；

故*為：或；

(3)聯立直線DF與拋物線的解析式：

，整理得：，

解得，，∴G點座標為(-3,-12a)，

同理，聯立直線AF與拋物線的解析式：

，整理得：，

解得，，∴K點座標為(6,-21a)，

∴直線GK的，

直線HE的，

即直線GK的k值與直線HE的k值相同，

∴GK與HE平行．

故*為：與有怎樣的位置關係是平行．

【點睛】

本題考查了二次函數的圖像及*質，二次函數與一次函數的交點座標的求法，一次函數的解析式，直角三角形的*質等知識點，熟練掌握二次函數的*質，學會聯立方程組求函數的交點座標是解決本題的關鍵．

知識點：二次函數單元測試

題型：解答題