如圖，在平面直角座標系中，直線與x軸交於點A，與y軸交點C，拋物線過A，C兩點，與x軸交於另一點B．（1）求拋...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，直線與x軸交於點A，與y軸交點C，拋物線過A，C兩點，與x軸交於另一點B．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在直線AC上方的拋物線上有一動點E，連接BE，與直線AC相交於點F，當時，求的值．

（3）點N是拋物線對稱軸上一點，在（2）的條件下，若點E位於對稱軸左側，在拋物線上是否存在一點M，使以M，N，E，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點M的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

（1）；（2）的值為或；（3）存在，M的座標為或或．

【分析】

（1）先求出A、C兩點座標，再用待定係數法求解；

（2）如圖，過點E作軸於點H，過點F作軸於點G，則易得△BFG∽△BEH，設點E的橫座標為t，則，利用相似三角形的*質可求出點F的座標，再根據EH與FG的關係列出關於t的方程，解方程即可求出t的值，然後在Rt△EBH中即可求出的值；

（3）①當EB為平行四邊形的邊時，分兩種情況：點M在對稱軸右側時，BN為對角線與點M在對稱軸左側時，BM為對角線，利用平移的*質即可求出結果；②當EB為平行四邊形的對角線時，利用平行四邊形對角線的*質和中點座標公式求解即可.

【詳解】

解：（1）在中，當時，當時，

∴、，

∵拋物線的圖象經過A、C兩點，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）令，解得，，∴，

設點E的橫座標為t，則，

如圖，過點E作軸於點H，過點F作軸於點G，則，∴△BFG∽△BEH，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴點F的橫座標為，

∴，

∴，

∴，

解得，，

當時，，

當時，，

∴，，

當點E的座標為時，在中，，，

∴，

∴；

同理，當點E的座標為時，，

∴的值為或；

（3）∵點N在對稱軸上，∴，

∵點E位於對稱軸左側，∴.

①當EB為平行四邊形的邊時，分兩種情況：

（Ⅰ）點M在對稱軸右側時，BN為對角線，

∵，，，，

∴，當時，，

∴；

（Ⅱ）點M在對稱軸左側時，BM為對角線，

∵，，，，

∴，

當時，，

∴；

②當EB為平行四邊形的對角線時，

∵，，，

∴，

∴，

當時，，

∴；

綜上所述，M的座標為或或．

【點睛】

本題是二次函數綜合題，考查了待定係數法求二次函數的解析式、二次函數圖象上點的座標特徵、相似三角形的判定與*質、一元二次方程的求解、鋭角三角函數的知識、平行四邊形的*質及其第四個頂點的確定問題，考查的知識點多、綜合*強、難度較大，屬於中考壓軸題，熟練掌握待定係數法是解（1）題的關鍵；熟知函數圖象上點的座標特徵、靈活應用相似三角形的*質和方程思想是解（2）題的關鍵；正確分類、不重不漏，靈活運用平行四邊形的*質和平移的數學思想方法是解（3）題的關鍵.

知識點：實際問題與二次函數

題型：解答題