如圖，在直角座標系中，直線y＝﹣x+3與x軸，y軸分別交於點B，點C，對稱軸為x＝1的拋物線過B，C兩點，且交...

問題詳情：

如圖，在直角座標系中，直線y＝﹣x+3與x軸，y軸分別交於點B，點C，對稱軸為x＝1的拋物線過B，C兩點，且交x軸於另一點A，連接AC．

（1）直接寫出點A，點B，點C的座標和拋物線的解析式；

（2）已知點P為第一象限內拋物線上一點，當點P到直線BC的距離最大時，求點P的座標；

（3）拋物線上是否存在一點Q（點C除外），使以點Q，A，B為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點Q的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）y＝﹣x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝6，

故點B、C的座標分別為（6，0）、（0，3），

拋物線的對稱軸為x＝1，則點A（﹣4，0），

則拋物線的表達式為：y＝a（x﹣6）（x+4）＝a（x2﹣2x﹣24），

即﹣24a＝3，解得：a＝﹣，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+3…①；

（2）過點P作y軸的平行線交BC於點G，作PH⊥BC於點H，

將點B、C座標代入一次函數表達式並解得：

直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，

則∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CAB＝＝＝tanα，則cosα＝，

設點P（x，﹣ x2+x+3），則點G（x，﹣ x+3），

則PH＝PGcosα＝（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，

∵＜0，故PH有最小值，此時x＝3，

則點P（3，）；

（3）①當點Q在x軸上方時，

則點Q，A，B為頂點的三角形與△ABC全等，此時點Q與點C關於函數對稱軸對稱，

則點Q（2，3）；

②當點Q在x軸下方時，

Q，A，B為頂點的三角形與△ABC相似，則∠ACB＝∠Q′AB，

當∠ABC＝∠ABQ′時，

直線BC表達式的k值為﹣，則直線BQ′表達式的k值為，

設直線BQ′表達式為：y＝x+b，將點B的座標代入上式並解得：

直線BQ′的表達式為：y＝x﹣3…②，

聯立①②並解得：x＝6或﹣8（捨去6），

故點Q（Q′）座標為（﹣8，﹣7）（捨去）；

當∠ABC＝∠ABQ′時

知識點：各地中考

題型：綜合題