如圖，在平面直角座標系中，拋物線經過座標原點，與x軸正半軸交於點A，該拋物線的頂點為M，直線經過點A，與y軸交...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，拋物線經過座標原點，與x軸正半軸交於點A，該拋物線的頂點為M，直線經過點A，與y軸交於點B，連接．

（1）求b的值及點M的座標；

（2）將直線向下平移，得到過點M的直線，且與x軸負半軸交於點C，取點，連接，求*：：

（3）點E是線段上一動點，點F是線段上一動點，連接，線段的延長線與線段交於點G．當時，是否存在點E，使得？若存在，求出點E的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

（1）b=3，M（3，-3）；（2）詳見解析；（3）點E的座標為（，）.

【解析】

（1）將*後可得頂點M的座標，利用求出點A的座標後代入即可求出b的值；

（2）先求出平移後的直線CM的解析式為y=-x，過點D作DH⊥直線y=-x，得到直線DH的解析式為y=2x-4，根據求出交點H（1，-2），分別求得DH=，DM=，根據sin∠DMH=得到∠DMH=45°，再利用外角與內角的關係得到結論；

（3）過點G作GP⊥x軸，過點E作EQ⊥x軸，先求出AB=，根據得到∠BAO=∠AFE，設GF=4a，則AE=EF=3a，*△AEQ∽△ABO，求得AQ=a，AF=a，再*△FGP∽△AEQ，得到FP=a，OP=PG=，由此得到+a+a=6，求出a得到AQ=，將x=代入中，得y=，即可得到點E的座標.

【詳解】

（1）∵=，

∴頂點M的座標為（3，-3）.

令中y=0，得x1=0，x2=6，

∴A（6,0），

將點A的座標代入中，得-3+b=0，

∴b=3；

（2）∵由平移得來，

∴m=-，

∵過點M(3，-3),

∴，解得n=，

∴平移後的直線CM的解析式為y=-x.

過點D作DH⊥直線y=-x，

∴設直線DH的解析式為y=2x+k，將點D（2,0）的座標代入，得4+k=0，

∴k=-4，

∴直線DH的解析式為y=2x-4.

解方程組，得，

∴H（1，-2）.

∵D(2，0)，H(1，-2)，

∴DH=，

∵M(3，-3)，D（2,0）,

∴DM=，

∴sin∠DMH=，

∴∠DMH=45°，

∵∠ACM+∠DMH=∠ADM，

∴；

（3）存在點E，

過點G作GP⊥x軸，過點E作EQ⊥x軸，

∵A(6，0)，B（0,3）,

∴AB=.

∵，∠BEF=∠BAO+∠AFE，

∴∠BAO=∠AFE，

∴AE=EF，

∵，

∴，

設GF=4a，則AE=EF=3a，

∵EQ⊥x軸，

∴EQ∥OB，

∴△AEQ∽△ABO，

∴，

∴，

∴AQ=a，

∴AF=a.

∵∠AFE=∠PFG，

∴△FGP∽△AEQ，

∴,

∴FP=a，

∴OP=PG=，

∴+a+a=6,

解得a=，

∴AQ=,

∴OQ=，

將x=代入中，得y=，

∴當時，存在點E，使得，此時點E的座標為（，）.

【點睛】

此題考查了拋物線的*質，待定係數法求函數解析式，一次函數平移的*質，兩個一次函數交點座標與方程組的關係，相似三角形的判定及*質，等腰三角形的*質，三角形的外角的*質定理，是一道拋物線的綜合題，較難.

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題