問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,一拋物線的對稱軸為直線,與y軸負半軸交於C點,與x軸交於A、B兩點,其中B點的座標為(3,0),且OB=OC.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點G(2,y)是該拋物線上一點,點P是直線AG下方的拋物線上一動點,當點P運動到什麼位置時,△APG的面積最大?求出此時P點的座標和△APG的最大面積.
(3)若平行於x軸的直線與該拋物線交於M、N兩點(其中點M在點N的右側),在x軸上是否存在點Q,使△MNQ為等腰直角三角形?若存在,請求出點Q的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1);(2)P點的座標為,的最大值為;(3)Q(-,0)或(,0)或(,0)或(,0)或(1,0).
【解析】
試題分析:(1)設拋物線的解析式為,根據已知得到C(0,﹣3),A(﹣1,0),代入得到方程組,求出方程組的解即可;
(2)過點P作y軸的平行線與AG交於點F,求出點G的座標(2,﹣3),設直線AG為,代入得到,求出方程組的解得出直線AG為,設P(x,),則F(x,﹣x﹣1),PF,根據三角形的面積公式求出△APG的面積,化成頂點式即可;
(3)存在.根據MN∥x軸,且M、N在拋物線上,得到M、N關於直線x=1對稱,設點M為(m,)且m>1,得到MN=2(m﹣1),當∠QMN=90°,且MN=MQ時,由△MNQ為等腰直角三角形,得到,求出m的值,得出點M和點Q的座標;當∠QNM=90°,且MN=NQ時,同理可求點Q的座標,當∠NQM=90°,且MQ=NQ時,過Q作QE⊥MN於點E,則QE=MN,根據拋物線及等腰直角三角形的軸對稱*,得到點Q的座標.
試題解析:(1)設拋物線的解析式為,
由已知得:C(0,﹣3),A(﹣1,0),
∴,解得,
∴拋物線的解析式為;
(2)過點P作y軸的平行線與AG交於點Q,
由,令x=2,則y=-3,∴點G為(2,-3),
設直線AG為,∴,解得:,即直線AG為,
設P(x,),則F(x,-x-1),PF.
∵,
∴當時,△APG的面積最大,此時P點的座標為,
(3)存在.
∵MN∥x軸,且M、N在拋物線上,∴M、N關於直線x=1對稱,
設點M為(,)且,∴,
當∠QMN=90°,且MN=MQ時,△MNQ為等腰直角三角形,∴MQ⊥MN即MQ⊥x軸,
∴,即或,
解得,(舍)或,(舍),
∴點M為(,)或(,),∴點Q為(,0)或(,0),
當∠QNM=90°,且MN=NQ時,△MNQ為等腰直角三角形,同理可求點Q為(-,0)或(,0),
當∠NQM=90°,且MQ=NQ時,△MNQ為等腰直角三角形,
過Q作QE⊥MN於點E,則QE=MN,,
∵方程有解,∴由拋物線及等腰直角三角形的軸對稱*知點Q為(1,0),
綜上所述,滿足存在滿足條件的點Q,分別為(-,0)或(,0)或(,0)或(,0)或(1,0).
考點:1.二次函數綜合題;2.等腰直角三角形.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題