已知點在拋物線上，若以為圓心的圓與軸有兩個交點，且兩點的橫座標是關於的方程的兩根．（1）當在拋物線上運動時，在...

問題詳情：

已知點在拋物線上，若以為圓心的圓與軸有兩個交點，且兩點的橫座標是關於的方程的兩根．

（1）當在拋物線上運動時，在軸上截得的弦長是否變化？為什麼？

（2）若與軸的兩個交點和拋物線的頂點構成一個等腰三角形，試求的值．

【回答】

（1）不變，弦長始終為2，理由見解析；（2）或或或或

【分析】

(1)設兩點的橫座標分別是，由韋達定理結合點在拋物線上求出即可求解；

(2)按照等腰三角形頂角不同分成三類討論，逐個求解即可．

【詳解】

解：（1）設兩點的橫座標分別是，由根與係數的關係知，

那麼：，

又因為在拋物線上，所以．故，

故*為: 弦長AB不變，始終為2；

(2)，

①當C為等腰三角形頂角時：，此時M點與C點重合，A、B兩點關於y軸對稱，即，∴；

②當A為等腰三角形頂角時:，且，

∴，解得，

當時，，對應的，

當時，，對應的，

③當B為等腰三角形頂角時：，且，

∴，解得，

當時，，對應的，

當時，，對應的，

綜上所述：或

或

或

或

．

【點睛】

本題考查了圓中弦長的求法，韋達定理，二次函數上點的座標特徵，等腰三角形的存在*問題等，屬於一道綜合題，計算過程中細心是解決本題的關鍵．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題