設a為實數，函數f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的極值；(2)當a在什麼範圍內取值時，曲線y＝f...

問題詳情：

設a為實數，函數f(x)＝x3－x2－x＋a.

(1)求f(x)的極值；

(2)當a在什麼範圍內取值時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點？

【回答】

(1)f(x)的極大值是f(－)＝＋a，極小值是f(1)＝a－1.(2).

【解析】試題分析：

(1)首先求得導函數，然後列表考查函數的單調*，據此可得f(x)的極大值是f(－)＝＋a，極小值是f(1)＝a－1.

(2)由題意結合(1)中的極值的結論可得實數a的取值範圍是.

試題解析：

(1)f′(x)＝3x2－2x－1.

令f′(x)＝0，則x＝－或x＝1.

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

所以f(x)的極大值是f(－)＝＋a，

極小值是f(1)＝a－1.

(2)函數f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，

由此可知，x取足夠大的正數時，

有f(x)＞0，x取足夠小的負數時，有f(x)＜0，

曲線y＝f(x)與x軸至少有一個交點．

由(1)知f(x)極大值＝f(－)＝＋a，

f(x)極小值＝f(1)＝a－1.

∵曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點，

∴f(x)極大值＜0或f(x)極小值＞0，

即＋a＜0或a－1＞0，

∴a＜－或a＞1，

∴當a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點．

點睛：(1)可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同．

(2)若f(x)在(a，b)內有極值，那麼f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值．

知識點：導數及其應用

題型：解答題