問題詳情:
已知函數f (x)=2x3-3(k+1)x2+6kx+t,其中k,t為實數,記區間[-2,2]為I.
(1)若函數f (x)的圖像與x軸相切於點(2,0),求k,t的值;
(2)已知k≥1,如果存在x0∈(-2,2),使得f (x0)為f (x)在I上的最大值,求k的取值範圍;
(3)已知-<k<-3,若對於任意x∈I,都有f (x)≥6(x-2)ex,求t的最小值.(e2≈7.39)
【回答】
(1)f′(x)=6x2-6(k+1)x+6k=6(x-1)(x-k),
因為函數f (x)的圖像與x軸相切於點(2,0),於是f (2)=0,f′(2)=0,
即2-k=0,16-12(k+1)+12k+t=0,解得k=2,t=-4.
(2)當k≥2時,f (x)在(-2,1)上單調遞增,在(1,2)上單調遞減,
於是存在x0=1,使得f (x0)為f (x)在I上的最大值;
當k=1時,f′(x)≥0恆成立,故f (x)在I上單調遞增,
故不存在x0∈(-2,2),使得f (x0)為f (x)在I上的最大值;
當1<k<2時,f (x)在(-2,1)上單調遞增,在(1,k)上單調遞減,在(k,2)上單調遞增,
於是若存在x0∈(-2,2),使得f (x0)為f (x)在I上的最大值,則必有f (1)≥f (2),
即k≥,又1<k<2,於是≤k<2;
綜上,k≥.
(3)對於任意x∈I,都有f (x)≥6(x-2)ex,
即對於任意x∈I,都有2x3-3(k+1)x2+6kx+t≥6(x-2)ex
即t≥6(x-2)ex-2x3+3(k+1)x2-6kx
設g (x)=6(x-2)ex-2x3+3(k+1)x2-6kx,x∈[-2,2],
則g′(x)=6(x-1)( ex-x+k),令h(x)=ex-x+k,x∈[-2,2],
則h′(x)=ex-1,於是h(x)在(-2,0)上單調遞減,在(0,2)上單調遞增,
又h(-2)=+2+k<+2-3=-1<0,於是當x∈[-2,0]時h(x)<0恆成立,
又h(1)=e-1+k<e-1-3=e-4<0,h(2)=e2-2+k>e2-2-=e2->0,
因此h(x)=ex-x+k,x∈[-2,2]存在唯一的零點x0∈(1,2),
於是g (x)在(-2,1)上單調遞增,在(1,x0)上單調遞減,在(x0,2)上單調遞增,
所以g (x)max=max{ g (1),g (2)}.
又g (1)-g (2)=(1-6e-3k)-(-4)=5-6e-3k<5-6e-3(-)=15-6e<0,於是g (1)<g (2),
所以g (x)max=g (2)=-4,即t≥-4,因此t的最小值是-4.
【説明】本題主要考查利用導數求函數的最值,分類討論思想及函數極值點常見的處理方法.其中第三問要能通過給定的k的範圍比較相關量的大小.
知識點:導數及其應用
題型:解答題