問題詳情:
已知函數f(x)=ln(1+x)-x+x2(k≥0).
(1)當k=2時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)求f(x)的單調區間.
【回答】
解: (1)當k=2時,f(x)=ln(1+x)-x+x2,
f′(x)=-1+2x.
由於f(1)=ln 2,f′(1)=,
所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為
y-ln 2=(x-1),即3x-2y+2ln 2-3=0.
(2)f′(x)=,x∈(-1,+∞).
當k=0時,f′(x)=-
所以,在區間(-1,0)上,f′(x)>0;
在區間(0,+∞)上,f′(x)<0.
故f(x)的單調遞增區間是(-1,0),
單調遞減區間是(0,+∞).
當0<k<1時,由f′(x)==0,
得x1=0,x2=>0.
所以,在區間(-1,0)和(,+∞)上,f′(x)>0;
在區間(0,)上,f′(x)<0.
故f(x)的單調遞增區間是(-1,0)和(,+∞),
單調遞減區間是(0,).
當k=1時,f′(x)=
故f(x)的單調遞增區間是(-1,+∞).
當k>1時,由f′(x)==0,
得x1=∈(-1,0),x2=0.
所以,在區間(-1,)和(0,+∞)上,f′(x)>0;
在區間(,0)上,f′(x)<0.
故f(x)的單調遞增區間是(-1,)和(0,+∞),
單調遞減區間是(,0).
知識點:基本初等函數I
題型:解答題