已知拋物線y=ax2＋bx＋c與直線y=mx＋n相交於兩點,這兩點的座標分別是(0,－)和(m－b,m2－mb...

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問題詳情：

已知拋物線y=ax2＋bx＋c與直線y=mx＋n相交於兩點,這兩點的座標分別是(0,－)和(m－b, m2－mb＋n),其中 a,b,c,m,n為實數,且a,m不為0. (Ⅰ)求c的值; (Ⅱ)求*:拋物線y=ax2＋bx＋c與x軸有兩個交點; (Ⅲ)當－1≤x≤1時,設拋物線y=ax2＋bx＋c上與x軸距離最大的點為P(x0,y0),求這時|y0|的最小值.

【回答】

解:(Ⅰ)把點(0,－)代入拋物線,得:c=－; (Ⅱ)把點(0,－)代入直線得:n=－. 把點(m－b,m2－mb＋n)代入拋物線,得: a(m－b)2＋b(m－b)＋c=m2－mb＋n ∵c=n=－, ∴a(m－b)2＋b(m－b)=m2－mb, am2－2abm＋ab2＋bm－b2－m2＋mb=0, (a－1)m2－(a－1)•2bm＋(a－1)b2=0, (a－1)(m2－2bm＋b2)=0, (a－1)(m－b)2=0, 若m－b=0,則(m－b,m2－mb＋n)與(0,－)重合,與題意不合,

∴a=1, ∵拋物線y=ax2＋bx＋c=x2＋bx－,b2－4ac=b2－4×

(－)=b2＋2＞0,

∴拋物線y=ax2＋bx＋c與x軸有兩個交點; (Ⅲ)y=x2＋bx－,頂點(－,－－),

設拋物線y=x2＋bx－在x軸上方與x軸距離最大的點的縱座標為H,在x軸下方與x軸距離最大的點的縱座標為h, ①當－＜－1時,即b＞2時,在x軸上方與x軸距離最大的點是(1,y0),

∴|H|=y0=＋b＞, 在x軸下方與x軸距離最大的點是(－1,y0), ∴|h|=|y0|=|－b|=b－＞, ∴|H|＞|h|, ∴這時|y0|的最小值大於, ②當－1≤－≤0時,即0≤b≤2時,在x軸上方與x軸距離最大的點是(1,y0), ∴|H|=y0=＋b≥,當b=0時等號成立, 在x軸下方與x軸距離最大的點是(－,－－), ∴|h|=|－－|=≥, 當b=0時等號成立, ∴這時|y0|的最小值等於, ③當0＜－≤1,即－2≤b＜0時, 在x軸上方與x軸距離最大的點是(－1,y0), ∴|H|=y0=|1＋(－1)b－|=|－b|=－b＞, 在x軸下方與x軸距離最大的點是(－,－－), ∴|h|=|y0|=|－－|=＞, ∴這時|y0|的最小值大於; ④當1＜－時,即b＜－2時,在x軸上方與x軸距離最大的點是(－1,y0), ∴|H|=－b＞, 在x軸下方與x軸距離最大的點是(1,y0), ∴|h|=|＋b|=－(b＋)＞, ∴|H|＞|h|, ∴這時|y0|的最小值大於, 綜上所述:當b=0,x0=0時,這時|y0|取最小值為.