.如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交於A(－1，0)、B兩點，與y軸交於點C(0，2)，拋物線的對稱軸交...

問題詳情：

.如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交於A(－1，0)、B兩點，與y軸交於點C(0，2)，拋物線的對稱軸交x軸於點D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求sin∠ABC的值；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，如果存在，直接寫出點P的座標；如果不存在，請説明理由．

【回答】

解：(1)將點A(－1，0)，C(0，2)代入拋物線y＝－x2＋bx＋c中得，

∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋2；

(2)令y＝－x2＋x＋2＝0，

解得x1＝－1，x2＝4，

∴點B的座標為(4，0)，

在Rt△BOC中，BC＝＝2，

∴sin∠ABC＝＝；

(3)存在，點P座標為(，)或(，－)或(，4)．

【解法提示】由拋物線y＝－x2＋x＋2得對稱軸為直線x＝，

∴點D的座標為(，0)．

∴CD＝＝.

∵點P在對稱軸x＝上，且△PCD是以CD為腰的等腰三角形，

∴當點D為頂點時，有DP＝CD＝，

此時點P的座標為(，)或(，－)；

當點C為頂點時，如解圖，連接CP，則CP＝CD，過點C作CG⊥DP於點G，則DG＝PG，

第1題解圖

∵DG＝2，

∴PG＝2，PD＝4，

∴點P的座標為(，4)．

綜上，存在點P使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，點P的座標為(，)或(，－)或(，4)．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題