如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交於B、C兩點，經過B、C兩點的拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸的另一個交...

問題詳情：

如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交於B、C兩點，經過B、C兩點的拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當0＜x＜3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值；

（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C、P、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請寫出所符合條件的點M的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解析】解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，則x＝3，令x＝0，則y＝3，

故點B、C的座標為（3，0）、（0，3），將點B、C的座標代入y＝x2+bx+c並解得：b＝﹣4，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x+3，令y＝0，則x＝1或3，故點A（1，0），點P（2，﹣1）；

（2）過點E作EH∥y軸交BC於點H，設點E（x，x2﹣4x+3），則點H（x，﹣x+3）

S△CBE＝HE×OB＝3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），

∵﹣＜0，當x＝時，S△CBE有最大值，點E（，﹣）；

（3）點C（0，3）、點P（2，﹣1），設點M（2，m），

CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，

①當CM＝CP時，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（捨去m＝﹣1）；

②當CP＝PM時，同理可得：m＝﹣1±2；

③當CM＝PM時，同理可得：m＝；

故點M座標為：（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題