如圖，在平面直角座標系中，拋物線y＝－x2－x＋2與x軸交於B、C兩點(點B在點C的左側)，與y軸交於點A，拋...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，拋物線y＝－x2－x＋2與x軸交於B、C兩點(點B在點C的左側)，與y軸交於點A，拋物線的頂點為D.

(1)填空：點A的座標為(____，____)，點B的座標為(____，____)，點C的座標為(____，____)，點D的座標為(____，____)；

(2)點P是線段BC上的動點(點P不與點B、C重合)．

①過點P作x軸的垂線交拋物線於點E，若PE＝PC，求點E的座標；

②在①的條件下，點F是座標軸上的點，且點F到EA和ED的距離相等，請直接寫出線段EF的長；

③若點Q是線段AB上動點(點Q不與點A、B重合)，點R是線段AC上的動點(點R不與點A、C重合)，請直接寫出△PQR周長的最小值．

【回答】

解：(1)0，2，－3，0，1，0，－1，；

【解法提示】∵拋物線y＝ －x2－x＋2與x軸交於B、C兩點，

∴－x2－x＋2＝0，

解得x1＝－3，x2＝1，

∵點B在點C的左側，

∴B(－3，0)，C(1，0)，

∵拋物線與y軸交於點A，∴當x＝0時，y＝2，

∴A(0，2)，

∵－＝－＝－1，

∴當x＝－1時，y＝－×(－1)2－×(－1)＋2＝，

∴頂點D的座標為(－1，)．

(2)①設點P的座標為(n，0)(－3＜n＜1)，

∵EP⊥x軸，點E在拋物線上，

∴點E的座標為(n, －n2－n＋2)，

又∵PE＝PC，

∴－n2－n＋2＝1－n，

解得n1＝－，n2＝1(不符合題意，捨去)，

∴當n＝－時，1－n＝，

∴E(－，)；

②或.

【解法提示】如解圖①，設直線DE與x軸交於點M，與y軸交於點N，直線EA與x軸交於點K，

第10題解圖①

根據點E、D的座標求得直線ED的解析式為y＝x＋3，根據點E、A的座標求得直線EA的解析式為y＝－x＋2，

∴△MEK是以MK為底邊的等腰三角形，△AEN是以AN為底邊的等腰三角形，

∵到EA和ED的距離相等的點F在頂角的平分線上，

根據等腰三角形的*質可知，EF的長是E點到座標軸的距離，

∴EF＝或.

③.

【解法提示】如解圖②，作點O關於AB的對稱點E，作點O關於AC的對稱點F，連接EF交AB於點Q，交AC於點R，過E作EM⊥x軸於M，過F作FN⊥x軸於N，

第10題解圖②

此時△PQR的周長為PQ＋QR＋PR＝EF，周長最小，

∵A(0，2)，B(－3，0)，C(1，0)，

∴AB＝＝，AC＝＝，

∵S△AOB＝×OE·AB＝OA·OB，

∴OE＝，

∵△OEM∽△ABO，

∴＝＝，

即＝＝，

∴OM＝，EM＝，

∴E(－，)，

同理可求得F(，)，

∴△PQR周長的最小值為EF＝＝.

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題