問題詳情:
已知,點M為二次函數y=-(x-b)2+4b+1圖象的頂點,直線y=mx+5分別交x軸正半軸,y軸於點A,B。
(1)判斷頂點M是否在直線y=4x+1上,並説明理由。
(2)如圖1,若二次函數圖象也經過點A,B,且mx+5>-(x-b)2+4b+1,根據圖象,寫出x的取值範圍。
(3)如圖2,點A座標為(5,0),點M在△AOB內,若點C( ,y1),D( ,y2)都在二次函數圖象上,試比較y1與y2的大小。
【回答】
(1)∵點M座標是(b,4b+1), ∴把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1, ∴點M在直線y=4x+1上。 (2)如圖1,∵直線y=mx+5與y軸交於點為B, ∴點B座標為(0,5) 又∵B(0,5)在拋物線上, ∴5=-(0-b)2+4b+1,解得b=2 ∴二次函數的表達式為y=-(x-2)2+9 ∴當y=0時,得x1=5,x2=-1, ∴A(5,0). 觀察圖象可得,當mx+5>-(x-b)2+4b+1時, x的取值範圍為x<0或x>5. (3)如圖2,∵直線y=4x+1與直線AB交於點E,與y軸交於點F,而直線AB表達式為y=-x+5, 解方程組 ,得 ∴點E( , ),F(0,1) ∵點M在△AOB內, ∴0<b< . 當點C,D關於拋物線對稱軸(直線x=b)對稱時,b- = -b ∴b= 且二次函數圖象的開口向下,頂點M在直線y=4x+1上, 綜上:①當0<b< 時,y1>y2; ②當b= 時,y1=y2; ③當 <b< 時,y1<y2。
【考點】二次函數與一次函數的綜合應用
【解析】【分析】(1)驗*一個點的座標是否在一個函數圖象:即把該點的橫座標代入該函數表達式,求出縱座標與該點的縱座標比較是否一樣; (2)求不等式mx+5>-(x-b)2+4b+1的解集,不能直接解不等式,需要結合函數圖象解答,因為次函數y=-(x-b)2+4b+1,一次函數y=mx+5,這個不等式即表示一次函數的值要大於二次函數的值,結合圖象,即一次函數的圖象在二次函數圖的上方時x的取值範圍,此時x的範圍是在點B的左邊,點A的右邊,則需要分別求出點B和點A的橫從標;因為點B是在直線直線y=mx+5與y軸的交點,令x=0,可求得B(0,5);因為二次函數y=-(x-b)2+4b+1圖象經過點B,將B(0,5)代入可求得b,然後令二次函數y=-(x-b)2+4b+1=0,求出點A的橫座標的值即可 (3)二次函數y=-(x-b)2+4b+1的圖象是開口向下的,所以有最大值,當點離對稱軸越近時,也就越大,因為C(, y1),D(, y2)的橫座標是確定的,則需要確定對稱軸x=b的位置,先由頂點M在△AOB內,得出b的取值範圍;一般先確定y1=y2時對稱軸位置,再結合“點離對稱軸越近時,也就越大”分三類討論,當y1>y2 , 當y1=y2 , 當y1<y2時b的取值範圍.
知識點:各地中考
題型:綜合題