已知，點M為二次函數y＝－(x－b)2＋4b＋1圖象的頂點，直線y＝mx＋5分別交x的正半軸，y軸於點A，B....

問題詳情：

已知，點M為二次函數y＝－(x－b)2＋4b＋1圖象的頂點，直線y＝mx＋5分別交x的正半軸，y軸於點A，B.

(1)判斷頂點M是否在直線y＝4x＋1上，並説明理由；

(2)如圖1，若二次函數圖象也經過點A，B，且mx＋5>－(x－b)2＋4b＋1.根據圖象，寫出x的取值範圍；

(3)如圖2，點A座標為(5，0)，點M在△AOB內，若點C(，y1)，D(，y2)都在二次函數圖象上，試比較y1與y2的大小．

【回答】

解：(1)由題意知，點M的座標是(b，4b＋1)，

∴把x＝b代入y＝4x＋1得y＝4b＋1，

∴點M在直線y＝4x＋1上．

(2)∵直線y＝mx＋5與y軸交於點B，

∴點B座標為(0，5)．

又∵B(0，5)在拋物線上，

∴5＝－(0－b)2＋4b＋1，解得b＝2，

∴二次函數的表達式為y＝－(x－2)2＋9，

∴當y＝0時，得x1＝5，x2＝－1，∴A(5，0)．

觀察圖象可得，當mx＋5>－(x－b)2＋4b＋1時，

x的取值範圍為x<0或x>5.

(3)如圖，∵直線y＝4x＋1與直線AB交於點E，與y軸交於點F，

而直線AB的表達式為y＝－x＋5，

解方程組

∴點E(，)，F(0，1)．

點M在△AOB內，∴0<b<.

當點C，D關於拋物線對稱軸對稱時，

b－＝－b，∴b＝，且二次函數圖象的開口向下，頂點M在直線y＝4x＋1上．

綜上所述，①當0<b<時，y1>y2；

②當b＝時，y1＝y2；

③當<b<時，y1<y2.

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題