問題詳情:
如圖,二次函數y=-x2+2(m-2)x+3的圖象與x、y軸交於A、B、C三點,其中A(3,0),拋物線的頂點為D. (Ⅰ)求m的值及頂點D的座標; (Ⅱ)當a≤x≤b時,函數y的最小值為,最大值為4,求a,b應滿足的條件; (Ⅲ)在y軸右側的拋物線上是否存在點P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合條件的點P的座標;如果不存在,請説明理由.
【回答】
解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=-x2+2(m-2)x+3, 得-9+6(m-2)+3=0, 解得m=3, 則二次函數為y=-x2+2x+3, ∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴頂點D的座標為(1,4); (Ⅱ)把y=代入y=-x2+2x+3中, 得=-x2+2x+3, 解得x1=-,x2=,
又∵函數y的最大值為4,頂點D的座標為(1,4),
結合圖象知-≤a≤1. 當a=-時,1≤b≤, 當-<a≤1時,b=; (Ⅲ)存在點P,使得△PDC是等腰三角形,
當x=0時,y=3,
∴點C座標為(0,3). 當△PDC是等腰三角形時,分三種情況: ①如解圖①,當DC=DP時,
由拋物線的對稱*知:點P與點C關於拋物線的對稱軸x=1對稱, ∴點P座標為(2,3); ②如解圖②,當PC=PD時,則線段CD的垂直平分線l與拋物線的交點即為所求的點P,
過點D作x軸的平行線交y軸於點H,
過點P作PM⊥y軸於點M,PN⊥DH的延長線於點N, ∵HD=HC=1,PC=PD, ∴HP是線段CD的垂直平分線. ∵HD=HC,HP⊥CD, ∴HP平分∠MHN, ∵PM⊥y軸於點M,PN⊥HD的延長線於點N, ∴PM=PN. 設P(m,-m2+2m+3),
則m=4-(-m2+2m+3),解得m=, ∴點P的座標為(,)(解圖中未標記此點)或(,); ③如解圖③,當CD=CP時,點P在y軸左側,不符合題意. 綜上所述,所求點P的座標為(2,3)或(,)或(,).
圖① 圖② 圖③
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題