如圖，已知直線y＝－3x＋c與x軸相交於點A(1，0)，與y軸相交於點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點A，...

問題詳情：

如圖，已知直線y＝－3x＋c與x軸相交於點A(1，0)，與y軸相交於點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點A，B，與x軸的另一個交點是C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是對稱軸的左側拋物線上的一點，當S△PAB＝2S△AOB時，求點P的座標；

(3)連接BC，拋物線上是否存在點M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，請直接寫出點M的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：(1)將A(1，0)代入y＝－3x＋c中，得－3＋c＝0，解得c＝3.

∴y＝－3x＋3，B(0，3)．

將A(1，0)，B(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c中，得

∴拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3.

(2)連接OP，如解圖1所示．

拋物線的對稱軸為直線x＝－＝－1.

設P(m，－m2－2m＋3)(m＜－1)．

∵S△PAB＝S△POB＋S△AOB－S△POA，S△PAB＝2S△AOB，

∴S△POB－S△POA＝S△AOB．

①當P點在x軸的上方時，

×3×(－m)－×1×(－m2－2m＋3)＝×1×3，

解得m1＝－2，m2＝3(捨去)．

此時P點的座標為(－2，3)．

②當P點在x軸的下方時，

×3×(－m)－×1×(m2＋2m－3)＝×1×3，

解得m1＝－5，m2＝0(捨去)．

此時P點的座標為(－5，－12)．

綜上所述，P點的座標為(－2，3)或(－5，－12)．

(3)存在點M，使∠MCB＝∠ABO，點M的座標為(，)或(－，)．

【提示】 在y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝－3，∴C(－3，0)．∵OC＝OB＝3，∴△OBC為等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3.①當∠MCB在直線BC的下方時，如解圖2所示．設直線CM交y軸於點D，作DE⊥BC於點E，設D(0，t)，則BD＝3－t.∵∠DBE＝45°，∴△BDE為等腰直角三角形，∴DE＝BE＝BD＝(3－t)．∵∠MCB＝∠ABO，tan∠MCB＝，tan∠ABO＝，∴＝＝，即CE＝3DE，∴3－(3－t)＝3×(3－t)，解得t＝，∴D(0，)，∴直線CD的解析式為y＝x＋.聯立捨去)，此時M點的座標為(，)．②當∠MCB在直線BC的上方時，如解圖3所示，設CM交直線AB於點N，過點N作NP⊥x軸於點P.易得直線AB的解析式為y＝－3x＋3，AB＝.設N(k，－3k＋3)．∵∠MCB＝∠ABO，∠CBO＝∠OCB，∴∠NCA＝∠ABC．又∵∠BAC＝∠CAN，∴△ABC∽△ACN，∴＝，即＝，∴AN＝.在Rt△NPA中，由勾股定理，得(k－1)2＋(－3k＋3)2＝()2，解得k1＝(捨去)，k2＝－.∴N點的座標為(－，)，∴直線CN的解析式為y＝2x＋6.聯立解得 (捨去)，此時M點的座標為(－1，4)．

綜上所述，存在點M，使∠MCB＝∠ABO，點M的座標為(，)或(－1，4)．

知識點：相似三角形

題型：綜合題