問題詳情:
已知函數在區間上是單調函數.
(1)求實數的所有取值組成的*;
(2)試寫出在區間上的最大值;
(3)設,令,對任意、,都有成立,求實數的取值範圍.
【回答】
(1)或;(2);(3).
【分析】
(1)對二次函數在區間上是增函數或減函數進行分類討論,結合二次函數的基本*質可求得實數的取值範圍,由此可得出*;
(2)利用(1)中的結論可求得關於的表達式;
(3)作出函數的圖象,由題意可知,當時,,對實數的取值進行分類討論,數形結合可得出和,進而可得出關於實數的不等式,由此可解得實數的取值範圍.
【詳解】
(1)二次函數的圖象開口向上,對稱軸為直線.
①若函數在區間上為增函數,則,解得;
②若函數在區間上為減函數,則,解得.
綜上所述,或;
(2)由(1)可知,當時,函數在區間上為增函數,則;
當時,函數在區間上為減函數,則.
綜上所述,;
(3)由已知條件可得.
對任意的、,都有成立,則.
作出函數的圖象如下圖所示:
由題意可得,
①當時,在上單調遞減,,,
所以,,解得,不合乎題意;
②當時,在上單調遞減,在上單調遞增,,,
所以,,解得,此時;
③當時,在上單調遞減,在上單調遞增,
,,
所以,,整理得,
解得或,此時;
④當時,在上單調遞減,在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增,
由圖象可得,,
所以,,解得,此時;
⑤當時,在上單調遞減,在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增,
由圖形可知,,,
所以,,解得,此時.
綜上所述,實數的取值範圍是.
【點睛】
二次函數在閉區間上的最值主要有三種類型:軸定區間定、軸動區間定、軸定區間動,不論哪種類型,解題的關鍵是對稱軸與區間的關係,當含有參數時,要依據對稱軸與區間的關係進行分類討論.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題