如圖，在四面體中，，.（Ⅰ）*：；（Ⅱ）若，，四面體的體積為2，求二面角的餘弦值.

問題詳情：

如圖，在四面體中，，.

（Ⅰ）*：；

（Ⅱ）若，，四面體的體積為2，求二面角的餘弦值.

【回答】

【解析】

分析：（1）作Rt△斜邊上的高，連結，易*平面，從而得*；

（2）由四面體的體積為2，，得，所以平面，以，，為，，軸建立空間直角座標系，利用面的法向量求解二面角的餘弦值即可.

詳解：解法一：（1）如圖，作Rt△斜邊上的高，連結．

因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，於是．

（2）在Rt△中，因為，，所以，， ，△的面積．因為平面，四面體的體積，所以，，，所以平面．

以，，為，，軸建立空間直角座標系．則， ，，，，，．

設是平面的法向量，則，即，可取．

設是平面的法向量，則，即，可取．

因為，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的餘弦值為

解法二：（1）因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．

設中點為，連結，，則，，所以平面，，於是．

（2）在Rt△中，因為，，所以△面積為．設到平面距離為，因為四面體的體積，所以．

在平面內過作，垂足為，因為，，所以．由點到平面距離定義知平面．

因為，所以．因為，，所以，，所以，即二面角的餘弦值為．

點睛：本題主要考查空間位置關係的*和空間角的計算，意在考查學生立體幾何和空間向量的基礎知識的掌握能力和基本的運算能力.*位置關係和求空間的角都有兩種方法，一是幾何的方法，一是向量的方法，各有特*，要根據具體情況靈活選擇，提高解析效率.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題