若函數f（x）=﹣eax（a＞0，b＞0）的圖象在x=0處的切線與圓x2+y2=1相切，則a+b的最大值是（　...

問題詳情：

若函數f（x）=﹣eax（a＞0，b＞0）的圖象在x=0處的切線與圓x2+y2=1相切，則a+b的最大值是（　　）

A．4    B．2 C．2    D．

【回答】

D【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．

【專題】導數的綜合應用．

【分析】求函數的導數，求出切線方程根據直線和圓相切得到a，b的關係式，利用換元法即可得到結論．

【解答】解：函數的f（x）的導數f′（x）=，

在x=0處的切線斜率k=f′（0）=，

∵f（0）=﹣，∴切點座標為（0，﹣），

則在x=0處的切線方程為y+=x，

即切線方程為ax+by+1=0，

∵切線與圓x2+y2=1相切，

∴圓心到切線的距離d=，

即a2+b2=1，

∵a＞0，b＞0，

∴設a=sinx，則b=cosx，0＜x＜，

則a+b=sinx+cosx=sin（x），

∵0＜x＜，

∴＜x＜，

即當x=時，a+b取得最大值為，

故選：D

【點評】本題主要考查導數的幾何意義，以及直線和圓的位置關係，綜合考查了換元法的應用，綜合*較強．

知識點：導數及其應用

題型：選擇題