已知函數y=x+1+lnx在點A（1，2）處的切線l，若l與二次函數y=ax2+（a+2）x+1的圖象也相切，...

問題詳情：

已知函數y=x+1+lnx在點A（1，2）處的切線l，若l與二次函數y=ax2+（a+2）x+1的圖象也相切，則實數a的取值為（　　）

A．12   B．8     C．0     D．4

【回答】

D【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．

【分析】求出y=x+1+lnx的導數，求得切線的斜率，可得切線方程，再由於切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切點，進而可聯立切線與曲線方程，根據△=0得到a的值．

【解答】解：y=x+1+lnx的導數為y′=1+，

曲線y=x+1+lnx在x=1處的切線斜率為k=2，

則曲線y=x+1+lnx在x=1處的切線方程為y﹣2=2x﹣2，即y=2x．

由於切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，

y=ax2+（a+2）x+1可聯立y=2x，

得ax2+ax+1=0，

又a≠0，兩線相切有一切點，

所以有△=a2﹣4a=0，

解得a=4．

故選：D．

知識點：導數及其應用

題型：選擇題