已知圓F1：（x+1）2+y2=r2與圓F2：（x﹣1）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4）的公共點的軌跡為曲...

問題詳情：

已知圓F1：（x+1）2+y2=r2與圓F2：（x﹣1）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4）的公共點的軌跡為曲線E，且曲線E與y軸的正半軸相交於點M．若曲線E上相異兩點A、B滿足直線MA，MB的斜率之積為．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）*直線AB恆過定點，並求定點的座標；

（Ⅲ）求△ABM的面積的最大值．

【回答】

【考點】J3：軌跡方程．

【分析】（Ⅰ）確定|QF1|+|QF2|=4＞|F1F2|，可得曲線E是長軸長2a=4，焦距2c=2的橢圓，且b2=a2﹣c2=3，即可求E的方程；

（Ⅱ）分類討論，設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合直線MA，MB的斜率之積為，即可*直線AB恆過定點，並求定點的座標；

（Ⅲ）求出△ABM的面積，利用基本不等式求出最大值．

【解答】解：（Ⅰ）設⊙F1，⊙F2的公共點為Q，由已知得，|F1F2|=2，|QF1|=r，|QF2|=4﹣r，

故|QF1|+|QF2|=4＞|F1F2|，

因此曲線E是長軸長2a=4，焦距2c=2的橢圓，且b2=a2﹣c2=3，

所以曲線E的方程為

（Ⅱ）由曲線E的方程得，上頂點，由題意知，x1≠0，x2≠0．

若直線AB的斜率不存在，則直線AB的方程為，

故y1=﹣y2，，

因此，

與已知不符，因此直線AB的斜率存在

設直線AB：y=kx+m，代入橢圓E的方程（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0①

因為直線AB與曲線E有公共點A，B，所以方程①有兩個非零不等實根x1，x2

所以，

又，

由得，，

即，

所以，

化簡得，

故m=．

結合，

即直線AB恆過定點N（0，2．

（Ⅲ）由

又====

若且唯若4k2﹣9=12，即時，△ABM的面積最大，最大值為

知識點：圓與方程

題型：解答題